Степень числа

Итак, разберёмся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение. Так, вместо произведения шести одинаковых множителей 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 пишут 4⁶ и произносят «четыре в шестой степени».
4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 = 4⁶

Выражение 4⁶ называют степенью числа, где:
•    4 - основание степени;
•    6 - показатель степени.
 
В общем виде степень с основанием "a" и показателем "n" записывается с помощью выражения:

    

• Степенью числа "a" с натуральным показателем "n", бóльшим 1, называется произведение "n" одинаковых множителей, каждый из которых равен числу "a".

 
Запись aⁿ читается так: «а в степени n» или «n-ая степень числа a».
 

Исключение составляют записи:
•    a² - её можно произносить как «а в квадрате»;
•    a³ - её можно произносить как «а в кубе».
 

Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени:
•    a² - «а во второй степени»;
•    a³ - «а в третьей степени».
Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0).
    

• Степенью числа «а» с показателем n = 1 является само это число:
• a¹ = a
• Любое число в нулевой степени равно единице.
• a⁰ = 1
• Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
• 0ⁿ = 0
• Единица в любой степени равна 1.
• 1ⁿ= 1

Выражение 0⁰ (ноль в нулевой степени) считают лишённым смыслом.
•    (-32)⁰ = 1
•    0²³⁴ = 0
•    1⁴ = 1
При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение значения степени.
 

Пример. Возвести в степень.
•    5³ = 5 • 5 • 5 = 125
•    2.5² = 2.5 • 2.5 = 6.25
•    (3)⁴ = 3• 3• 3• 3 = 81
      4       4  4   4  4   256


Возведение в степень отрицательного числа
Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом - положительным, отрицательным или нулём.
    

• При возведении в степень положительного числа получается положительное число.

При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.
При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.
 

Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.
 
Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.
 

Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.
    
Отрицательное число, возведённое в чётную степень, есть число положительное.

• Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, - число отрицательное.
• Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:
• a² ≥ 0 при любом a.

•    2 • (- 3)² = 2 • (- 3) • (- 3) = 2 • 9 = 18
•    - 5 • (- 2)³ = - 5 • (- 8) = 40
 

Обратите внимание!
При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (- 5)⁴ и -5⁴ это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.
 

Вычислить (- 5)⁴ означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.
(- 5)⁴ = (- 5) • (- 5) • (- 5) • (- 5) = 625
 

В то время как найти -5⁴ означает, что пример нужно решать в 2 действия:
1.    Возвести в четвёртую степень положительное число 5. 
5⁴ = 5 • 5 • 5 • 5 = 625
2.    Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить действие вычитание). 
-5⁴ = - 625
Пример. Вычислить: - 6² - (- 1)⁴
- 6² - (- 1)⁴ = - 37

1.    6² = 6 • 6 = 36
2.    -6² = - 36
3.    (- 1)⁴ = (- 1) • (- 1) • (- 1) • (- 1) = 1
4.    - (- 1)⁴ = - 1
5.    - 36 - 1 = - 37
 

Порядок действий в примерах со степенями
Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.
    

• В выражениях со степенями, не содержащими скобки, сначала выполняют возведение в степень, затем умножение и деление, а в конце сложение и вычитание.
• Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

Пример. Вычислить:
 
 

Cвойства степени

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.
Свойство № 1 
Произведение степеней
    

• При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.
• a^m • aⁿ = a^m+n, где a - любое число, а m, n - любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.
Примеры.
•    Упростить выражение. 
b • b² • b³ • b⁴ • b⁵ = b^1+2+3+4+5 = b¹⁵

•    Представить в виде степени. 
6¹⁵• 36 = 6¹⁵ • 6² = 6¹⁵⁺² = 6¹⁷

•    Представить в виде степени. 
(0,8)³ • (0,8)¹² = (0,8)³⁺¹² = (0,8)¹⁵
    

• Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями. Оно не относится к их сложению.
• Нельзя заменять сумму (3³ + 3²) на 3³. Это понятно, если посчитать 3³ = 27 и 3²= 9; 27 + 9 = 36, а 3⁵ = 243

Свойство № 2 
Частное степеней
    

• При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
• a^m • aⁿ = a^m-n, где a - любое число, не равное нулю, а m, n - любые натуральные числа такие, что m > n.

Примеры.
•    Записать частное в виде степени 
(2b)⁵ : (2b)³ = (2b)^5-3 = (2b)²

•    Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней. 
3⁸ : t = 3⁴

t = 3⁸ : 3⁴

t = 3^8-4

t = 3⁴

Ответ: t = 3⁴ = 81
 

Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.
•    Пример. Упростить выражение. 
4^5m+6 • 4^m+2 : 4^4m+3 = 4^5m+6+m+2 : 4^{4m + 3} = 4^{6m + 8 - 4m - 3}= 4^{2m + 5}

    
Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.
Нельзя заменять разность (4³ - 4²) на 4¹. Это понятно, если посчитать 4³ = 64 и 4² = 16; 64 - 16 = 48, а 4¹ = 4
Будьте внимательны!
 

Свойство № 3 
Возведение степени в степень
    

• При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.
• (aⁿ)^m = a^{n • m}, где a - любое число, а m, n - любые натуральные числа.

•    Пример.
(a⁴)⁶ = a^{4 • 6} = a²⁴
•    Пример. Представить 3²⁰ в виде степени с основанием 32.
По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:
 
 

Свойства 4 
Степень произведения
    

• При возведении степени в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель и результаты перемножаются.
• (a • b)ⁿ = aⁿ • bⁿ, где a, b - любые рациональные числа; n - любое натуральное число.

•    Пример 1.

(6 • a² • b³ • c )² = 6² • a^{2 • 2} • b^{3 • 2} • с ^{1 • 2} = 36 a⁴ • b⁶ • с ²

•    Пример 2.

(- x² • y)⁶ = ( (- 1)⁶ • x^{2 • 6} • y^{1 • 6}) = x¹² • y⁶
    
Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.
(aⁿ • bⁿ)= (a • b) ⁿ
 

То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.
•    Пример. Вычислить.

2⁴ • 5⁴ = (2 • 5)⁴ = 10⁴ = 10 000

•    Пример. Вычислить.

0,5¹⁶ • 2¹⁶ = (0,5 • 2)¹⁶ = 1
 

В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.
Например, 4⁵ • 3² = 4³ • 4² • 3² = 4³ • (4 • 3)² = 64 • 12² = 64 • 144 = 9216
 

Пример возведения в степень десятичной дроби.
4²¹ • (-0,25)²⁰ = 4 • 4 ²⁰ • (-0,25) ²⁰ = 4 • (4 • (-0,25))²⁰ = 4 • (- 1)²⁰ = 4 • 1 = 4

Свойства 5
Степень частного (дроби)
    

• Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.
• (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ, где a, b - любые рациональные числа, b ≠ 0, n - любое натуральное число.

•    Пример. Представить выражение в виде частного степеней. 
(5 : 3)¹² = 5¹² : 3¹²
 

Возведение в степень дроби

• При возведении в степень дроби нужно возвести в степень и числитель, и знаменатель.

Примеры возведения в степень дроби.

 

Как возвести в степень смешанное число
Чтобы возвести в степень смешанное число, сначала избавляемся от целой части, превращая смешанное число в неправильную дробь. После этого возводим в степень и числитель, и знаменатель.
Пример.

Формулу возведения в степень дроби применяют как слева направо, так и справа налево, то есть, чтобы разделить друг на друга степени одинаковыми показателями, можно разделить одно основание на другое, а показатель степени оставить неизменным.

•    Пример. Найти значение выражения рациональным способом. 

Свойства степеней