Периодическая дробь
Не все обыкновенные дроби можно представить в виде конечной десятичной дроби.
Например, если делить 2 на 3, то сначала получим ноль целых, потом шесть десятых, а затем при делении всё время будет повторяться остаток 2, а в частном - цифра 6.
Такое деление закончить без остатка невозможно и поэтому дробь 2/3 нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.
 
    

• Если в записи десятичной дроби одна цифра или группа цифр начинают повторяться бесконечно много раз, такую дробь называют периодической дробью.

В краткой записи периодической дроби повторяющуюся цифру (или группу цифр) пишут в скобках. Эту цифру (или группу цифр) называют периодом дроби.
Вместо 0,666... пишут 0,(6) и читают «ноль целых и шесть в периоде».
 
 

Перевод периодической дроби в обыкновенную
Периодическую бесконечную десятичную дробь можно перевести в обыкновенную дробь.
 

Рассмотрим периодическую дробь 10,0219(37).
•    Считаем количество цифр в периоде десятичной дроби. Обозначаем количество цифр за букву k. У нас k = 2.
•    Считаем количество цифр, стоящих после запятой, но до периода десятичной дроби. Обозначаем количество цифр за букву m. У нас m = 4.
•    Записываем все цифры после запятой (включая цифры из периода) в виде натурального числа. Если вначале, до первой значащей цифры, идут нули, то отбрасываем их. Обозначаем полученное число буквойa.
a = 021937 = 21 937
•    Теперь записываем все цифры, стоящие после запятой, но до периода, в виде натурального числа. Если вначале до первой значащей цифры идут нули, то отбрасываем их. Обозначаем полученное число буквой b.
b = 0219 = 219
•    Подставляем найденные значения в формулу, где Y - целая часть бесконечной периодической дроби. У нас Y = 10. 

Пример перевода периодической дроби в обыкновенную
Итак, подставляем все найденные значения в формулу выше и получаем обыкновенную дробь. Полученный ответ всегда можно проверить на обычном калькуляторе.