Положительные и отрицательные числа
Координатная прямая
Проведём прямую. Отметим на ней точку 0 (ноль) и примем эту точку за начало отсчёта.
 

 Укажем стрелкой направление движения по прямой вправо от начала координат. В этом направлении от точки 0 будем откладывать положительные числа.
 
То есть положительными называют уже известные нам числа, кроме нуля.

Иногда положительные числа записывают со знаком «+». Например, «+8».
 

Для краткости записи знак «+» перед положительным числом обычно опускают и вместо «+8» пишут просто 8.
 

Поэтому «+3» и «3» - это одно и тоже число, только по разному обозначенное.
 

Выберем какой-либо отрезок, длину которого примем за единицу и отложим его несколько раз вправо от точки 0. В конце первого отрезка записывается число 1, в конце второго - число 2 и т.д.
 
Отложив единичный отрезок влево от начала отсчёта получим отрицательные числа: -1; -2; и т.д.
 

Отрицательные числа используют для обозначения различных величин, таких как: температура (ниже нуля), расход - то есть отрицательный доход, глубина - отрицательная высота и другие.
 

Как видно из рисунка, отрицательные числа - это уже известные нам числа, только со знаком «минус»: -8; -5,25 и т.д.

•     Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.

Числовую ось обычно располагают горизонтально или вертикально.
 

Если координатная прямая расположена вертикально, то направление вверх от начала отсчёта обычно считают положительным, а вниз от начала отсчёта - отрицательным.
 

Стрелкой указывают положительное направление.
 
 

Прямая, на которой отмечено:
•    начало отсчёта (точка 0);
•    единичный отрезок;
•    стрелкой указано положительное направление; 
называется координатной прямой или числовой осью.
 

Противоположные числа на координатной прямой
Отметим на координатной прямой две точки A и B, которые расположены на одинаковом расстоянии от точки 0 справа и слева соответственно.
 

В таком случае длины отрезков OA и OB одинаковы.
 

Значит, координаты точек A и B отличаются только знаком.
 
Также говорят, что точки A и B симметричны относительно начала координат.
Координата точки A положительная «+2», координата точки B имеет знак минус «-2».
A (+2), B (-2).

•     Числа, которые отличаются только знаком, называются противоположными числами. Соответствующие им точки числовой (координатной) оси симметричны относительны начала отсчёта.

Каждое число имеет единственное противоположное ему число. Только число 0 не имеет противоположного, но можно сказать, что оно противоположно самому себе.
 

Запись «-a» означает число, противоположное «a». Помните, что под буквой может скрываться как положительное число, так и отрицательное число.
 

Пример:
-3 - число противоположное числу 3.

Записываем в виде выражения:
-3 = -(+3)

Пример:
-(-6) - число противоположное отрицательному числу -6. Значит, -(-6) это положительное число 6.

Записываем в виде выражения:
-(-6) = 6

Сложение отрицательных чисел
Сложение положительных и отрицательных чисел можно разобрать с помощью числовой оси.

Сложение небольших по модулю чисел удобно выполнять на координатной прямой, мысленно представляя себе как точка, обозначающая число передвигается по числовой оси.
 

Возьмём какое-нибудь число, например, 3. Обозначим его на числовой оси точкой A.
 
 

Прибавим к числу положительное число 2. Это будет означать, что точку A надо переместить на два единичных отрезка в положительном направлении, то есть вправо. В результате мы получим точку B с координатой 5.
 3 + (+ 2) = 5

Для того чтобы к положительному числу, например, к 3 прибавить отрицательное число (- 5), точку A надо переместить на 5 единиц длины в отрицательном направлении, то есть влево.
 

В этом случае координата точки B равна - 2.
 
 

Итак, порядок сложения рациональных чисел с помощью числовой оси будет следующим:
•    отметить на координатной прямой точку A с координатой равной первому слагаемому;
•    передвинуть её на расстояние, равное модулю второго слагаемого в направлении, которое соответствует знаку перед вторым числом (плюс - передвигаем вправо, минус - влево);
•    полученная на оси точка B будет иметь координату, которая будет равна сумме данных чисел.
 

Пример.
- 2 + (- 6) = 

Двигаясь от точки - 2 влево (так как перед 6 стоит знак минус), получим - 8.
 - 2 + (- 6) = - 8

Сложение чисел с одинаковыми знаками
Складывать рациональные числа можно проще, если использовать понятие модуля.
 

Пускай нам нужно сложить числа, которые имеют одинаковые знаки.
Для этого, отбрасываем знаки чисел и берём модули этих чисел. Сложим модули и перед суммой поставим знак, который был общим у данных чисел.
 

Пример.
 
Пример сложения отрицательных чисел.
(- 3,2) + (- 4,3) = - (3,2 + 4,3) = - 7,5

• Чтобы сложить числа одного знака надо сложить их модули и поставить перед суммой знак, который был перед слагаемыми.

Сложение чисел с разными знаками
Если числа имеют разные знаки, то действуем несколько по-иному, чем при сложении чисел с одинаковыми знаками.
•    Отбрасываем знаки перед числами, то есть берём их модули.
•    Из большего модуля вычитаем меньший.
•    Перед разностью ставим тот знак, который был у числа с бóльшим модулем.
 

Пример сложения отрицательного и положительного числа.
0,3 + (- 0,8) = - (0,8 - 0,3) = - 0,5

Пример сложения смешанных чисел.
 
 

Чтобы сложить числа разного знака надо:
•    из бóльшего модуля вычесть меньший модуль;
•    перед полученной разностью поставить знак числа, имеющего больший модуль.
 

Вычитание отрицательных чисел
Как известно вычитание - это действие, противоположное сложению.
Если a и b - положительные числа, то вычесть из числа a число b, значит найти такое число c, которое при сложении с числом b даёт число a.
a - b = с или с + b = a

Определение вычитания сохраняется для всех рациональных чисел. То есть вычитание положительных и отрицательных чисел можно заменить сложением.
    

• Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число противоположное вычитаемому.

Или по другому можно сказать, что вычитание числа b - это тоже самое сложение, но с числом противоположным числу b.
a - b = a + (- b)

Пример.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2

Пример.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2

• Стоит запомнить выражения ниже.
• 0 - a = - a
• a - 0 = a
• a - a = 0

Правила вычитания отрицательных чисел
Как видно из примеров выше вычитание числа b - это сложение с числом противоположным числу b.
Это правило сохраняется не только при вычитании из бóльшего числа меньшего, но и позволяет из меньшего числа вычесть большее число, то есть всегда можно найти разность двух чисел.
 

Разность может быть положительным числом, отрицательным числом или числом ноль.
 

Примеры вычитания отрицательных и положительных чисел.
•    - 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
•    - 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
•    5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Удобно запомнить правило знаков, которое позволяет уменьшить количество скобок.
Знак «плюс» не изменяет знака числа, поэтому, если перед скобкой стоит плюс, то знак в скобках не меняется.
+ (+ a) = + a

+ (- a) = - a

Знак «минус» перед скобками меняет знак числа в скобках на противоположный.
- (+ a) = - a

- (- a) = + a

Из равенств видно, что если перед и внутри скобок стоят одинаковые знаки, то получаем «+», а если знаки разные, то получаем «-».
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0

Правило знаков сохраняется и в том случае, если в скобках не одно число, а алгебраическая сумма чисел.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n

Обратите внимание, если в скобках стоит несколько чисел и перед скобками стоит знак «минус», то должны меняться знаки перед всемичислами в этих скобках.
 

Чтобы запомнить правило знаков можно составить таблицу определения знаков числа.
Правило знаков для чисел

Или выучить простое правило.

•     Минус на минус даёт плюс,
•      Плюс на минус даёт минус.

Умножение отрицательных чисел
Используя понятие модуля числа, сформулируем правила умножения положительных и отрицательных чисел.
 

Умножение чисел с одинаковыми знаками
Первый случай, который может вам встретиться - это умножение чисел с одинаковыми знаками.
Чтобы умножить два числа с одинаковыми знаками надо:
•    перемножить модули чисел;
•    перед полученным произведением поставить знак «+» (при записи ответа знак «плюс» перед первым числом слева можно опускать).
 

Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.
•    (- 3) • (- 6) = + 18 = 18
•    2 • 3 = 6
 

Умножение чисел с разными знаками
Второй возможный случай - это умножение чисел с разными знаками.
Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо:
•    перемножить модули чисел;
•    перед полученным произведением поставить знак «-».
Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.
•    (- 0,3) • 0,5 = - 1,5
•    1,2 • (- 7) = - 8,4
 

Правила знаков для умножения
Запомнить правило знаков для умножения очень просто. Данное правило совпадает с правилом раскрытия скобок.
    

• Минус на минус даёт плюс,
• Плюс на минус даёт минус.

В «длинных» примерах, в которых есть только действие умножение, знак произведения можно определять по количеству отрицательных множителей.
 

При чётном числе отрицательных множителей результат будет положительным, а при нечётном количестве - отрицательным.
Пример.
(- 6) • (- 3) • (- 4) • (- 2) • 12 • (- 1) =

В примере пять отрицательных множителей. Значит, знак результата будет «минус».
Теперь вычислим произведение модулей, не обращая внимание на знаки.
6 • 3 • 4 • 2 • 12 • 1 = 1728

Конечный результат умножения исходных чисел будет:
(- 6) • (- 3) • (- 4) • (- 2) • 12 • (- 1) = - 1728

Умножение на ноль и единицу
Если среди множителей есть число ноль или положительная единица, то умножение выполняется по известным правилам.
•    0 • a = 0
•    a • 0 = 0
•    a • 1 = a
Примеры:
•    0 • (- 3) = 0
•    0,4 • 1 = 0,4
Особую роль при умножении рациональных чисел играет отрицательная единица (- 1).
    

• При умножении на (- 1) число меняется на противоположное.

В буквенном выражении это свойство можно записать:
a • (- 1) = (- 1) • a = - a

При совместном выполнении сложения, вычитания и умножения рациональных чисел сохраняется порядок действий, установленный для положительных чисел и нуля.
 

Пример умножения отрицательных и положительных чисел.
 
 

Деление отрицательных чисел
Как выполнять деление отрицательных чисел легко понять, вспомнив, что деление - это действие, обратное умножению.
 

Если a и b положительные числа, то разделить число a на число b, значит найти такое число с, которое при умножении на b даёт число a.
 

Данное определение деления действует для любых рациональных чисел, если делители отличны от нуля.
 

Поэтому, например, разделить число (- 15) на число 5 - значит, найти такое число, которое при умножении на число 5 даёт число (- 15). Таким числом будет (- 3), так как
(- 3) • 5 = - 15

значит

(- 15) : 5 = - 3

Примеры деления рациональных чисел.
1.    10 : 5 = 2, так как 2 • 5 = 10
2.    (- 4) : (- 2) = 2, так как 2 • (- 2) = - 4
3.    (- 18) : 3 = - 6, так как (- 6) • 3 = - 18
4.    12 : (- 4) = - 3, так как (- 3) • (- 4) = 12
 

Из примеров видно, что частное двух чисел с одинаковыми знаками - число положительное (примеры 1, 2), а частное двух чисел с разными знаками - число отрицательное (примеры 3,4).
 

Правила деления отрицательных чисел
Чтобы найти модуль частного, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.
Итак, чтобы разделить два числа с одинаковыми знаками, надо:
•    модуль делимого разделить на модуль делителя;
•    перед результатом поставить знак «+».
Примеры деления чисел с одинаковыми знаками:
•    (- 9) : (- 3) = + 3
•    6 : 3 = 2
 

Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо:
•    модуль делимого разделить на модуль делителя;
•    перед результатом поставить знак «-».
Примеры деления чисел с разными знаками:
•    (- 5) : 2 = - 2,5
•    28 : (- 2) = - 14
Для определения знака частного можно также пользоваться следующей таблицей.
Правило знаков при делении

При вычислении «длинных» выражений, в которых фигурируют только умножение и деление, пользоваться правилом знаков очень удобно. Например, для вычисления дроби
 
Можно обратить внимание, что в числителе 2 знака «минус», которые при умножении дадут «плюс». Также в знаменателе три знака «минус», которые при умножении дадут «минус». Поэтому в конце результат получится со знаком «минус».
 

Сокращение дроби (дальнейшие действия с модулями чисел) выполняется также, как и раньше:
 
    

• Частное от деления нуля на число, отличное от нуля, равно нулю.
• 0 : a = 0, a ≠ 0
• Делить на ноль НЕЛЬЗЯ!

Все известные ранее правила деления на единицу действуют и на множество рациональных чисел.
•    а : 1 = a
•    а : (- 1) = - a
•    а : a = 1
, где а - любое рациональное число.

Зависимости между результатами умножения и деления, известные для положительных чисел, сохраняются и для всех рациональных чисел (кроме числа нуль):
•    если a • b = с;     a = с : b;     b = с : a;
•    если a : b = с;     a = с • b;     b = a : c
Данные зависимости используются для нахождения неизвестного множителя, делимого и делителя (при решении уравнений), а также для проверки результатов умножения и деления.
 

Пример нахождения неизвестного.
x • (- 5) = 10

x = 10 : (- 5)

x = - 2

Знак «минус» в дробях
Разделим число (- 5) на 6 и число 5 на (- 6).
 

Напоминаем, что черта в записи обыкновенной дроби - это тот же знак деления, и запишем частное каждого из этих действий в виде отрицательной дроби.
 
 

Таким образом знак "минус" в дроби может находиться:
•    перед дробью;
•    в числителе;
•    в знаменателе.
 
    

• При записи отрицательных дробей знак «минус» можно ставить перед дробью, переносить его из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель.

Это часто используется при выполнении действий с дробями, облегчая вычисления.
 

Пример. Обратите внимание, что после вынесения знака «минуса» перед скобкой мы из большего модуля вычитаем меньший по правилам сложения чисел с разными знаками.
 
 
Используя описанное свойство переноса знака в дроби, можно действовать, не выясняя, модуль какого из данных дробных чисел больше.